31.有log<3>a1+log<3>a2+...+log<3>a10=10成立;(

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/26 04:47:33
31.有log<3>a1+log<3>a2+...+log<3>a10=10成立;(A)
证明：
(1)等比数列{an},a5*a6=9==>(A)
(2)等比数列{an},(a5)^2*(a6)^2=81=/=>(A)

（1）因为a5*a6=9，所以在等比数列中有a1a10=a2a9=a3a8=a4a7=a5a6=9
所以（a1a10)(a2a9)(a3a8)(a4a7)(a5a6)=(9)^5=3^10
即a1a2a3…a10=3^10
两边取以3为底的对数得log<3>a1+log<3>a2+...+log<3>a10=10

（2）an要为正数。
因为(a5)^2*(a6)^2=81，所以a5*a6=9，
所以在等比数列中有a1a10=a2a9=a3a8=a4a7=a5a6=9
所以（a1a10)(a2a9)(a3a8)(a4a7)(a5a6)=(9)^5=3^10
即a1a2a3…a10=3^10
两边取以3为底的对数得log<3>a1+log<3>a2+...+log<3>a10=10

由已知可以推出log<3>(a1a2a…a10)=10推出3^10=a1a2a3…a10推出3^10=(a5a6)^5所以a5a6=9.第二问是第一问题的平方